Читать онлайн «Кривые второго порядка: Учебно-методическое пособие»

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т « К ривые второг о п оря д ка» Пособиед ля студ ентов1 курсапо специальности «х им ия» 020101. В О РО Н Е Ж 2004  2 У тверж д ено науч но-м етод ич еским советом м атем атич еского ф акультета 3 сентября 2004 год а Протокол№ 1 СоставительПетроваЕ . В . Пособиепод готовлено накаф ед реуравнений вч астны х производ ны х и теории вероятностей м атем атич еского ф акультетаВ оронеж ского госуниверситета Реком енд уется д ля студ ентов1 курсад невного отд еления х им ич еского ф акультета  3 К Р И В Ы Е В ТО РО ГО П О Р ЯДК А У равнение F(x;y)=0 опред еляеткривую второго поряд ка, если х отя бы од наиз перем енны х вэтом уравнении им еетвторую степень. 1. О круж ност ь О круж ность – м нож ество всех точ ек плоскости, равноуд аленны х от д анной точ ки (центра). Е сли r – рад иус окруж ности, а точ ка C (a;b) – ее центр, то уравнениеокруж ности им еетвид ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 . (1) В ч астности, если центр окруж ности совпад аетс нач алом коорд инат, то послед нееуравнениеприм етвид x2 + y2 = r 2 . (2) Е сли в левой ч асти уравнение (1) раскры ть скобки, то получ ится уравнениевид а x 2 + y 2 + lx + my + n = 0 , (3) гд е l = −2a, m = -2b, n = a + b − r . 2 2 2 В общ ем случ ае уравнение (2) опред еляет окруж ность, если l + m − 4n > 0 . 2 2 Е сли l 2 + m 2 − 4n = 0 , то указанное уравнение опред еляет точ ку (- l/2;-m/2), аесли l 2 + m 2 − 4n < 0 , то оно неим еетгеом етрич еского см ы с- ла. В этом случ аеговорят, ч то уравнениеопред еляетм ним ую окруж ность. Полезно пом нить, ч то уравнение окруж ности сод ерж ит старш ие ч лены x 2 и y 2 с равны м и коэф ф ициентам и, и в нем отсутствуетч лен с произвед ением x наy. В заим ное располож ение точ ки M(x1;y1) и окруж ности x 2 + y 2 = r 2 опред еляется таким и условиям и: если x1 + y1 = r 2 , то точ ка М леж итна 2 2 окруж ности; если x1 + y1 > r 2 , то точ ка М леж итвне окруж ности, и если 2 2 x1 + y1 < r 2 , то точ каМ леж итвнутри окруж ности. 2 2 У равнение Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 (4) пред ставляетокруж ностьпри условии, ч то коэф ф ициенты A, B, C, D уд ов- летворяю тнеравенству B 2 + C 2 − 4 AD > 0 (5) Т огд ацентр (a;b) и рад иусR окруж ности м ож но найти по ф орм улам B C a=− ,b = − , 2A 2A (6) B 2 + C 2 − 4 AD R = 2 4A2  4 Прим ер 1.