Читать онлайн «Программа и задания по теории функций комплексного переменного»

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю. А. Самарский 16 июня 2003 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по курсу Теория функций комплексного неременного III по направлению факультет кафедра курс семестр 5 лекции 51 час семинарские занятия 34 часа 511600 ФОПФ, ФПМЭ, ФМБФ, ФФКЭ высшей математики экзамен 5 семестр самостоятельная работа 3 часа в неделю всего часов 85 Программу составили: Е. С. Половинкин, д. ф. -м. н. , профессор М. И. Карлов, к. ф. -м. н, ст. препод. Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 11 апреля 2003 г. Заведующий кафедрой Г. Н. Яковлев 1. Комплексные числа. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Последовательности и ряды. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывные функции. 2. Дифференцирование по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Понятие функции, регулярной (голоморфной) в области. Сопряженные гармонические функции двух переменных. 3. Элементарные функции комплексного переменного: степенная, рациональная, показательная и тригонометрическая, их свойства. Теорема об обратной функции. Понятие о многозначной функции и ее регулярных ветвях. Главные регулярные ветви многозначных функций { \/z} и Lnz. 4. Интегрирование по комплексному переменному. Интегральная теорема Коши для регулярных функций. Интегральная формула Коши (интеграл Коши). Интеграл типа Коши, его регулярность. 5. Сугцествование первообразной для функции, регулярной в односвязной области. Формула Пьютона-Лейбница. Теорема Мореры. 6. Степенные ряды, первая теорема Абеля, радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора для регулярной функции. Теорема Вейерштрасса для равномерно сходягцихся рядов из регулярных функций. 7. Ряд Лорана и его кольцо сходимости. Разложение регулярной функции в ряд Лорана, его единственность и неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема единственности для регулярных функций. 8. Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация . Нахождение особой точки по главной части ряда Лорана. 9. Вычеты. Вычисление интегралов с номогцью вычетов. Лемма Жордана. 10. Прирагцение аргумента z вдоль гладкого контура, его интегральное представление, логарифмическое свойство и свойство устойчивости. Прирагцение аргумента функции f{z) вдоль непрерывного контура. Обгций вид регулярных ветвей многозначных функций Ln z ж { \/z} в односвяз- ной области, не содержагцей нуля. Условия сугцествования и обгций вид регулярных ветвей многозначных функций Ln/(z) и { V/(^)}- Вычисление интегралов от регулярных ветвей многозначных функций. 11. Целые функции. Теорема Лиувилля, теорема Сохоцкого- Вейерштрасса и теорема Пикара (последняя без доказательства) для целых функций. 12. Мероморфные функции. Теорема о разложении в сумму элементарных дробей мероморфной функции (в обгцем случае, т. е. когда ее полюсы могут иметь любой порядок). Формула для ctgz. 13. Понятия об аналитическом продолжении элементов друг в друга с номогцью конечной цепочки элементов и вдоль контура, эквивалентность этих понятий.