Читать онлайн «Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ»

Алгебра и теория чисел для математических школ Н. Б. Алфутова, А. В. Устинов МК 2009 УДК 51 ББК 21. 1 А45 Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор Ю. П. Соловьев. Алфутова Н. Б. Устинов А. В. А45 Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 3-е изд. , испр. и доп. — М. : МЦНМО, 2009. — 336 с. ISBN 978-5-94057-550-4 Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углублен- ным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим матема- тику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы. Основу сборника составляют задачи к курсу алгебры, который читал- ся в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова при МГУ им. М. В. Ломоносова в 1995—2000 годах. Предыдущее издание книги вышло в 2005 г. ББК 21. 1 c Алфутова Н. Б. , Устинов А. В. , 2002, 2005, 2009. ISBN 978-5-94057-550-4 c МЦНМО, 2009. Оглавление Предисловие 5 Обозначения 7 1. Метод математической индукции 8 1. 1. Тождества, неравенства и делимость . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 2. Индукция в геометрии и комбинаторике . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Комбинаторика 16 2. 1. Сложить или умножить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. 2. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. 3. Размещения, перестановки и сочетания . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. 4. Формула включений и исключений . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. 5. Числа Каталана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики 32 3. 1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. 2. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. 3. Мультипликативные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. 4. Числа Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. 5. Цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. 6. Континуанты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.