Читать онлайн «Устойчивость локализованных волн в нелинейно-упругих стержнях»
Автор Андрей Ильичев
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Г л а в а 1. Математическое введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. 1. Динамическая устойчивость решений гамильтоновых систем
типа уединенных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. 1. 1. Трансляционная инвариантные гамильтоновы системы (14).
1. 1. 2. Существование решений и основные предположения (15).
1. 1. 3. Устойчивость (16).
1. 2. Спектральная неустойчивость и функция Эванса . . . . . . . . . 19
1. 2. 1. Локальный анализ (20). 1. 2. 2. Внешние системы (27).
1. 2. 3. Функция Эванса (27). 1. 2. 4. Большие |λ| (28). Г л а в а 2. Петлеобразные солитоны в эластике Эйлера . . . . . . . . 31
2. 1. Формулировка задачи, солитонные решения, симметрии . . . 34
2. 1. 1. Солитонные решения (35). 2. 1. 2. Корректность задачи Ко-
ши (36). 2. 1. 3. Симметрии (36).
2. 2. Спектральные свойства оператора H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. 2. 1. Возмущения в плоскости петли (37). 2. 2. 2. Поперечные
возмущения (38).
2. 3. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2. 3. 1. Возмущения в плоскости петли. Орбита T (ω)φc (40).
2. 3. 2. Орбита G(ϕ)T (ω)φc (41).
2. 4. Вычисление первого ненулевого коэффициента ряда Тейлора
функции D(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2. 5. Резюме . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. 6. Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Г л а в а 3. Захваченные моды в сжимаемом стержне . . . . . . . . . 50
3. 1. Продольные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. 1. 1. Формулировка задачи (51). 3. 1. 2. Солитонные реше-
ния (53). 3. 1. 3. Устойчивость (56).
3. 2. Продольно-изгибные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. 2. 1. Формулировка задачи и основные уравнения (57). 3. 2. 2. Cу-
ществование и устойчивость захваченных изгибных мод (58).
3. 3. Нелинейный резонанс продольной и изгибной мод . . . . . . . . 61
3. 4. Обсуждение и выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. 5. Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Г л а в а 4. Неустойчивость «шейки» в растянутом стержне . . . . . . 65
4. 1. Формулировка задачи, солитонные решения . . . . . . . . . . . . 66
4. 1. 1. Вывод уравнения (4. 0. 1) (66). 4. 1. 2. Локальная тео-
рия существования (67). 4. 1. 3.
