Читать онлайн «Методы некоммутативного анализа»

МИР МАТЕМАТИКИ В. НАЗАИКИНСКИИ Б. СТЕРНИН В. ШАТАЛОВ Методы некоммутативного анализа Перевод с английского авторов ТЕХНОСФЕРА Москва 2002 Оглавление Предисловие 7 I. Элементарные понятия некоммутативного анализа 9 1. Примеры, в которых возникают функции некоммутирующих операторов 9 1. 1. Неавтономные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Г-экспонента 10 1. 2. Квантовая механика. Операторы рождения и уничтожения 13 1. 3. Дифференциальные и интегральные операторы . . 17 1. 4. Задачи теории возмущений 19 1. 5. Закон умножения в группах Ли 23 1. 6. Задача о собственных значениях квантового осциллятора 25 1. 7. Г-экспоненты, формулы Троттера и континуальные интегралы 30 2. Функции некоммутирующих операторов: конструкция и основные свойства 33 2. 1. Мотивировки 34 2. 2. Определение и теорема единственности 38 2. 3. Основные свойства 46 2. 4. Медленно растущие символы и производящие операторы групп степенного роста 56 2. 5. Влияние классов символов на свойства генераторов 59 2. 6. Квантование Вейля 62 3. Некоммутативное дифференциальное исчисление ... . 66 3. 1. Формула дифференцирования 67 3. 2. Теорема Далецкого-Крейна 70 3. 3. Разложения более высоких порядков 71 3. 4. Перестановка фейнмановских номеров 78 4 Оглавление 3. 5. Формула сложной функции 83 4. Теорема Кемпбелла-Хаусдорфа и формула Дынкина . . 88 4. 1. Постановка задачи 88 4. 2. Операция коммутирования 90 4. 3. Замкнутая формула для \п(евеА) 93 4. 4. Замкнутая формула для логарифма Г-экспоненты 97 5. Резюме: правила "операторной арифметики" и некоторые стандартные приемы 104 5. 1. Обозначения 105 5. 2. Правила 106 5. 3. Стандартная техника 108 II. Метод упорядоченного представления 117 1. Определение и основное свойство упорядоченного представления 117 1. 1. Виковская нормальная форма 117 1. 2. Упорядоченное представление и теорема о композиции 120 1. 3. Редукция к нормальной форме 123 2. Вычисление упорядоченного представления 128 2. 1. Функции операторов х и —id/dx 129 2. 2. Возмущенные гейзенберговские соотношения ... 131 2. 3. Нелинейные коммутационные соотношения ... . 132 2. 4. Лиевские коммутационные соотношения 135 2. 5. Градуированные алгебры Ли 140 3. Условие Якоби и теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта . 142 3. 1. Упорядоченное представление и условие Якоби . . 143 3. 2. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта 149 3. 3. Примеры проверки условия Якоби 153 4. Условие Якоби и уравнения Янга-Бакстера 156 5. Представления групп Ли и функции их инфинитези- мальных образующих 170 5. 1. Условия на представление 170 5. 2. Гильбертовы шкалы 172 5. 3. Пространства символов 177 5. 4. Классы символов и асимптотические задачи ... . 183 III. Некоммутативный анализ и дифференциальные уравнения 189 1. Основные идеи 189 Оглавление 5 1. 1. Метод Хевисайда для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 193 1. 2. Нестандартные характеристики и асимптотические разложения 199 1. 3. Асимптотические разложения. Гладкость в сравнении с параметром 203 1. 4. Асимптотические разложения относительно упорядоченного набора операторов 206 1. 5.