Читать онлайн «Геометрия. 8 класс»

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ А. Л. ВЕРНЕР В. И. РЫЖИК Б IE ( А. Д. АЛЕКСАНДРОВ А. Л. ВЕРНЕР В. И. РЫЖИК ГЕОМЕТРИЯ ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК ДЛЯ 8 НЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ <& Рекомендовано Главным управлением шнол Министерства просвещения СССР МОСКВА ПРОСВЕЩЕНИЕ 1986 ББК22. 151я72 А46 Условные обозначения окончание доказательства утверждения необязательный материал 4306020400—508 ь ннф. письмо — 86 103(03) — 86 © Издательство «Просвещение», 1986 ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ § 29. ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 29. 1. Векторы и действия с ними В курсе VII класса вы начали изучать векторы и действия с ними. В VIII классе это изучение будет продолжаться в математике и физике. Сначала вспомним основные сведения о векторах из курса VII класса. Векторы — это такие величины, которые имеют численное значение и направление. Численное значение вектора называется его модулем (или длиной). Ненулевые векторы изображаются направленными отрезками, (рис. 1). Направленные отрезки тоже называются векторами. Особо выделяется нуль-вектор: 0. Его длина равна нулю, а направления он не имеет. Этот вектор изображается точкой. Равные векторы — это такие векторы, которые имеют равные длины и одинаковые направления (рис. 2). Отложить от данной точки вектор, равный данному,— значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор. От любой данной точки можно отложить вектор, равный данному, и притом ^только один. Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника (рис* 3) или ncf правилу параллелограмма (рис. 4). Рис. L Рис. 2 Рис. 3 3 (a+b)+c=a+(b+c) Рис 4 Рис 5 Рис 6 Основные свойства сложения векторов те же, что и сложения Чисел. 1. Переместительность (коммутативность) сложения: а -+- Ь = Ь + а для любых векторов а и Ь (рис. 5). 2. Сочетательность (ассоциативность) сложения: а + (Ь + с) = (а -\- Ь) + с для любых векторов а, 6, с (рис. 6) 3. Сложение векторов с нулевым вектором не изменяет данный вектор: а + 0 = а для любого вектора а. 4. Для каждого вектора а имеется противоположный ему вектор, который обозначается —а. Сумма противоположных векторов равна 0 (рис. 7). Вычитание векторов — это операция, обратная сложению векторов. Вычесть из вектора а вектор b — значит найти такой вектор с, который в сумме с вектором Ь даст вектор а (рис. 8). Чтобы вычесть из вектора а вектор Ь, можно к вектору а прибавить вектор — b (рис. 9). с~а-Ь = а+(-/>) Рис 7 Рис 8 4 Рис 9 Рис 10 Рис 11 Рис 12 Другая операция, обратная сложению векторов,— разложение вектора на составляющие по двум прямым. Если две прямые пересекаются, то каждый вектор на плоскости можно разложить на сумму двух векторов, лежащих на этих прямых, причем единственным образом (рис 10). Полученные векторы-слагаемые называются составляющими данного вектора по данным прямым Вы познакомились также и с умножением вектора на число. Чтобы умножить вектор а на число х, длину вектора (| а\ ) умножают на | jcI. Если х> 0, то вектор ха направлен одинаково с вектором а; если х < 0, то вектор ха направлен противоположно вектору а (рис. 11). Если данный вектор нулевой или мы умножаем вектор на нуль, то вектор ха равен 0. Основные свойства умножения вектора на число выражаются следующими равенствами: —>• —*■ х(уа) = (ху)а\ (1) (х + у)а = ха + уЬ; (2) х(а + Ь)=ха + хЬ. (3) Эти равенства верны для любых чисел и векторов Напомним еще признак параллельности векторов: два вектора параллельны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на некоторое число (см.