Читать онлайн «Основоположения арифметики»

Готлоб Фреге ОСНОВОПОЛОЖЕНИЯ АРИФМЕТИКИ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ О ПОНЯТИИ ЧИСЛА Перевод В. А. Суровцева Томск: Издательство «Водолей», 2000  2 ЛОГИЦИСТСКАЯ ПРОГРАММА Г. ФРЕГЕ К середине XIX века усилиями ряда мыслителей стал, наконец, проясняться характер связи математики и логики, единство которых было предугадано ещё Г. Лейбницем. Осознание тесной связи пришло со стороны математиков. Первый шаг на этом пути был сделан трудами англичан А. де Моргана и Дж. Булля. Предложив алгебраическую интерпретацию логических отношений, они создали предпосылки для создания математизированной логики, которая нашла своё окончательное выражение в трудах немецкого математика Э. Шредера. Рассматриваемая как раздел алгебры логика предстала здесь как совокупность вычислительных процедур, распространённых с отношений между переменными величинами на отношения между переменными содержаниями. Однако, несмотря на зримые достижения, такой подход таил одно парадоксальное следствие. С одной стороны, логика представлялась разделом математики; с другой стороны, понимаемая как наука об универсальных законах мышления, логика должна была оправдать, в том числе и математические рассуждения. Выход из ситуации был найден великим немецким логиком Г. Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную математику. Несмотря на исключительную новизну предложенного решения, суть новаций не выходила за рамки внутренних интенций развития современной математики. Создание неколичественной алгебры, теории трансфинитных чисел и т. д. всё более зримо указывало на отсутствие связи между математическими положениями и эмпирическим исследованием. Наличие независимых друг от друга, но в равной степени обоснованных теорий типа неэвклидовых геометрий требовало нового обоснования специфики математического рассуждения. Таким образом, математика всё более утрачивала эмпирическую основу, что приводило к двум важным следствиям. Во-первых, математические символы всё более и более теряли конкретную связь с пространственными и количественными отношениями, приобретая формальный характер, более свойственный логике, которая, отвлекаясь от содержания мысли, оперирует чистыми формами, репрезентирующими последовательность рассуждений. Математика становится наукой о порядке. Во-вторых, математическое знание более не рассматривается как совокупность истин об особом роде предметов, как считалось со времён Платона, а понимается как выведение следствий. Математики отказываются от понимания истины как определённой адеквации между продуцируемым ими знанием и действительностью. Критерием истины становится непротиворечивость следствий, полученных из исходных постулатов. Стало быть, и в этом отношении логика, как анализ непротиворечивости рассуждения, приобретает исключительное значение. Оба следствия по существу содержат требование логического прояснения лежащих в основании математики понятий. Исследование должно выявить их структурные особенности, обеспечивающие возможность сугубо формального подхода, и гарантировать непротиворечивость формулируемых с их помощью постулатов.