Читать онлайн «Курс диференциальной геометрии»

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. М. Львовский Лекции по математическому анализу Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 517 ББК 22. 161 Л89 Львовский С. М. Л89 Лекции по математическому анализу. —М. : МЦНМО, 2008. — 296 с. ISBN 978-5-94057-438-5 Книга представляет собой записки продвинутого курса анализа, прочитанного автором в 2006/07 годах в Независимом московском университете. В курсе на раннем этапе вводится понятие гладкого многообразия и уделяется много внимания векторным полям, дифференциальным формам, ориентаци- ям и прочему материалу, лежащему между курсами анализа и дифференциальной геометрии. Из менее традиционных тем отметим пример Уитни и доказательство (в ослабленном варианте) теоремы регулярности для эллиптических систем. ББК 22. 161 Сергей Михайлович Львовский Математический анализ Подписано в печать 15. 10. 2008 г. Формат 60 х 90 Vl6- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 18. 5. Тираж 1000 экз. Заказ № Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. Тел. (499) 241-74-83. Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука"». 121099, Москва, Шубинский пер. , д. 6. ISBN 978-5-94057-438-5 © Львовский СМ. , 2008 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой записки трехсеместрового курса анализа, прочитанного автором в 2006/07 годах (а до этого—в 1999/2000) в Независимом московском университете. Текст довольно точно соответствует второй версии курса, но разбиение текста на «лекции» не всегда соответствует разбиению курса на устные лекции. В соответствии с традициями Независимого университета в курсе на раннем этапе вводится понятие гладкого многообразия и уделяется много внимания векторным полям, дифференциальным формам, ори- ентациям—одним словом, тому материалу, который кто-то (Д. В. Аносов?) назвал «ничьей землей, лежащей между курсами анализа и дифференциальной геометрии». Благодаря тому, что в 2006 году набор студентов оказался на редкость сильным даже по меркам НМУ, в курс удалось включить кое-что и из тех разделов анализа, на которые в НМУ времени обычно не хватает: меру и интеграл Лебега, распределения (обобщенные функции), преобразование Фурье в Rn. Из менее традиционных тем отметим пример Уитни, демонстрирующий нарушение теоремы Сарда при недостаточной гладкости, а также доказательство (в ослабленном варианте) теоремы регулярности для эллиптических систем. Схему изложения теории пределов, использованную в курсе, я узнал от Ю. М. Бурмана; она, видимо, не идеальна, но никак не хуже «предела по базе» (читай: предела базиса фильтра) и представляет собой, видимо, разумный компромисс. Теория интеграла Римана в курсе не излагается: для нужд первого семестра достаточно интегралов от кусочно-непрерывных функций, что проще сделать с помощью «интеграла Коши», а второй семестр начинается уже с интеграла Лебега; такой подход к построению курса анализа был, как известно, предложен Ж. Дьедонне. При изложении нужного нам частного случая теоремы Уитни о продолжении я следовал книге Б.